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推导出普通年金终值、现值的一般计算公式

 
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普通年金的终值和现值系数是怎样得到的?
专家回答:


推导出普通年金终值、现值的一般计算公式
  普通年金终值指一定时期内,每期期末等额收入或支出的本利和,也就是将每一期的金额,按复利换算到最后一期期末的终值,然后加总,就是该年金终值.例如:每年存款1元,年利率为10%,经过5年,逐年的终值和年金终值,可计算如下:
  1元1年的终值=1.000元
  1元2年的终值=(1+10%)1=1.100(元)
  1元3年的终值=(1+10%)2=1.210(元)
  1元4年的终值=(1+10%)3=1.331(元)
  1元5年的终值=(1+10%)4=1.464(元)
  1元年金5年的终值=6.105(元)
  如果年金的期数很多,用上述方法计算终值显然相当繁琐.由于每年支付额相等,折算终值的系数又是有规律的,所以,可找出简便的计算方法.
  设每年的支付金额为A,利率为i,期数为n,则按复利计算的年金终值S为:
S=A+A×(1+i)+…+A×(1+i)n-1,              (1)
等式两边同乘以(1+i):
S(1+i)=A(1+i)+A(1+i)2+…+A(1+l)n,(n等均为次方) (2)
上式两边相减可得:
S(1+i)-S=A(1+l)n-A,
S=A[(1+i)n-1]/i

式中[(1+i)n-1]/i的为普通年金、利率为i,经过n期的年金终值记作(S/A,i,n),可查普通年金终值系数表.
  年金现值通常为每年投资收益的现值总和,它是一定时间内每期期末收付款项的复利现值之和.每年取得收益1元,年利率为10%,为期5年,上例逐年的现值和年金现值,可计算如下:
  1年1元的现值==0.909(元)
  2年1元的现值==0.826(元)
  3年1元的现值==0.751(元)
  4年1元的现值==0.683(元)
  5年1元的现值==0.621(元)
  1元年金5年的现值=3.790(元)
  计算普通年金现值的一般公式为:

P=A×(1+i)-1+A×(1+i)-2…+A×(1+i)-n,      (1)

等式两边同乘(1+i)

P(1+i)=A+A(1+i)-1+…+A(1+i)-(n-1),      (2)

  (2)式减(1)式

P(1+i)-P=A-A(1+i)-n,

剩下的和上面一样处理就可以了。

普通年金1元、利率为i,经过n期的年金现值,记作(P/A,i,n),可查年金现值系数表.
另外,预付年金、递延年金的终值、现值以及永续年金现值的计算公式都可比照上述推导方法,得出其一般计算公式.
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